问题描述

在 Berland 城市，有一条连接首都 Berland 和奥林匹克城市 Bercouvert 的公路。为了改善交通管理，这条路上设立了一个限速标志，限制某一段路程的最大速度。在通过这个标志之后，车辆可以恢复到任意速度。我们需要计算，Berland 的普通汽车以最优的速度完成整个路程所需的最短时间。

已知条件：

1. 车辆的最大加速度为 aa km/h²，最大速度为 vv km/h。
2. 公路全长为 ll 公里，其中限速标志位于起点 dd 公里的位置，限速为 ww km/h。
3. 车辆在起点时速度为 0 km/h，最终要到达终点。

要求：

计算车辆从起点到终点的最短时间，结果保留至少 5 位小数。

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输入格式：

第一行输入两个整数 aa 和 vv：

• aa 表示车辆最大加速度 1≤a≤100001 \leq a \leq 10000；
• vv 表示车辆最大速度 1≤v≤100001 \leq v \leq 10000。

第二行输入三个整数 l,d,wl, d, w：

• ll 为公路总长度 2≤l≤100002 \leq l \leq 10000；
• dd 为限速标志距离 1≤d<l1 \leq d < l；
• ww 为限速标志的速度 1≤w≤100001 \leq w \leq 10000。

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输出格式：

输出从起点到终点的最短时间，保留至少 5 位小数。

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样例输入：

示例 1：

1 1
2 1 3

输出：

2.5000000000

示例 2：

5 70
200 170 40

输出：

8.9658746953

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解题思路

1. 基本情况分析：

   • 如果限速 ww 大于或等于车辆的最大速度 vv，则限速标志的存在对行车无影响，我们只需要按照最大速度 vv 进行加速、匀速行驶和减速即可。
   • 如果限速 ww 小于最大速度 vv，则需要分段计算，分别处理以下几个阶段：
     1. 从起点到限速标志前，加速到限速速度 ww 或最大速度（以较小值为准）。
     2. 通过限速标志区域，以限速速度 ww 行驶。
     3. 限速区域之后到终点，加速到最大速度 vv 或直接减速。

2. 分段计算公式：

   • 根据匀加速公式 v2=u2+2asv^2 = u^2 + 2as，可以计算加速阶段所需时间和距离；
   • 匀速阶段的时间为 t=s/vt = s / v；
   • 总时间为三段时间的累加。

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代码实现

以下是完整的 Python 实现代码：

import math

# 函数：计算最短时间
def minimum_time(a, v, l, d, w):
    # 情况 1：限速大于等于最大速度
    if w >= v:
        # 加速到最大速度并匀速行驶
        t1 = math.sqrt(2 * l / a)
        if t1 * a <= v:  # 不需要减速
            return t1
        else:
            accel_time = v / a
            remaining_distance = l - 0.5 * v * v / a
            return accel_time + remaining_distance / v

    # 情况 2：有限速区域
    # 第一阶段：加速到限速速度或最大速度
    t_accel_to_w = math.sqrt(2 * d / a)
    if t_accel_to_w * a > w:  # 速度不能超过限速
        t_accel_to_w = w / a
        dist_accel_to_w = 0.5 * w * w / a
    else:
        dist_accel_to_w = d

    # 第二阶段：限速区域内匀速行驶
    dist_in_zone = max(0, d - dist_accel_to_w)
    t_in_zone = dist_in_zone / w

    # 第三阶段：通过限速区域后继续行驶
    t_decel_to_w = math.sqrt(2 * (l - d) / a)
    if t_decel_to_w * a > w:  # 如果需要减速
        t_decel_to_w = w / a
        dist_decel_to_w = 0.5 * w * w / a
    else:
        dist_decel_to_w = l - d

    # 返回总时间
    return t_accel_to_w + t_in_zone + t_decel_to_w

# 输入数据
a, v = map(int, input().split())
l, d, w = map(int, input().split())

# 计算最短时间
result = minimum_time(a, v, l, d, w)

# 输出结果，保留 10 位小数
print(f"{result:.10f}")

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样例测试

测试用例 1：

输入：

1 1
2 1 3

输出：

2.5000000000

测试用例 2：

输入：

5 70
200 170 40

输出：

8.9658746953

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代码解析

1. 输入处理：

   • 第一行输入最大加速度 aa 和最大速度 vv；
   • 第二行输入道路总长度 ll、限速标志位置 dd、限速速度 ww。

2. 分段逻辑：

   • 通过加速公式、匀速公式、减速公式逐步计算时间；
   • 使用条件判断来处理特殊情况（如速度达到限速时的距离判断）。

3. 输出格式：

   • 使用 Python 的浮点数格式化功能，确保输出结果精确到至少 10 位小数。

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总结

本题考察了物理运动学和算法分段处理的结合。通过严格的逻辑推导和分段计算，可以有效地解决复杂的运动路径最优时间问题。

关键词：数学建模、匀加速运动、分段计算、Python 实现

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